Resolvendo um problema...

Minha idade mais o nº do meu sapato é igual a 9 2. Multiplicados um pelo outro dá 2 0 8 0. Sabe qual é minha idade e o nº do meu sapato?
"Armando" na escola faria assim: x é minha idade e y é o nº do sapato.

x + y = 9 2
xy = 2 0 8 0
Resolvendo
x = 9 2 – y
( 9 2 – y ) . y = 2 0 8 0
9 2 y - y² = 2 0 8 0
- y² + 9 2 y – 2 0 8 0 = 0 ( - 1 )
y² - 92 y + 2080 = 0
y’ = 104 / 2
y` = 52
y" = 80 / 2
y" = 40

Pronto! Calculamos minha idade ( 5 2 ) e o nº do meu sapato ( 4 0 ).

Equação do 1º e do 2º grau, qual a diferença entre elas?

Você sabe qual a diferença entre uma equação de 1º grau e uma de 2º? Está enganado quem achar que o nome tem a ver com ensino fundamental ou médio! O que determina o grau de uma equação é o expoente (a potência) da incógnita (a letra, geralmente x e y. Nas de 2o grau, o maior expoente da incógnita é 2.

Existem equações de 3o grau, 4o grau etc. Por exemplo, a equação 6x + 5x4 + 45x2 = 0 é uma equação do 4o grau, pois o maior expoente da incógnita x é 4.
Raízes da equação:A solução de uma equação é chamada de raiz. O número de raízes possíveis de uma equação é igual ao seu grau. Equações de 2o grau possuem, então, no máximo duas raízes; equações de 3o grau possuem no máximo 3 raízes, etc.
Equações de 2o grau incompletasAlgumas equações do 2o grau são de fácil solução:
Por exemplo: qual o número que elevado ao quadrado resulta 25?
Equacionando o problema:

x² = 25

Há dois números que satisfazem essa condição, ou há dois números que são raízes da equação (já que ela é de 2º grau).
Veja a resolução:

x = + ou - raiz de 25
X = +ou - 5

5 e - 5 são raízes da equação de 2o grau x2 = 25
Resolução de problemas com equações quadradasEste é um problema clássico que pode ser resolvido por meio de equação de 2o grau incompleta.

Um homem quer construir uma casa de 8m por 10m. A legislação do município só permite construir, nesse loteamento, em no máximo máximo em 20% da área do terreno. Todos os terrenos são quadrados. Qual serão as medidas do terreno para construir a casa desejada?

A área do terreno é: Aterreno = x²
A área da casa é: Acasa = 8 . 10 = 80 m²
Como a área da casa será 20% da área do terreno, tem-se:
A área do terreno será Aterreno = = 400 m²

x2 = 400
x = + ou - a raiz de 400
x = + ou - 20

A raiz -20 é uma solução matemática do problema, mas não serve, pois a medida de um terreno não pode ser negativa. Logo, o terreno mede 20m de lado.
Veja outro problema: Qual o número que elevado ao quadrado e somado a 25 resulta zero?
Equacionando:

x² + 25 = 0
x² = - 25
Não existe um número que elevado ao quadrado que resulte em um número negativo.

A equação x2 + 25 = 0 não tem solução, ou não possui raízes no conjunto dos números reais, R.

Agora, vamos resolver a equação x 2 + 25x = 5x
Subtraindo 5x de ambos os lados:
x² + 25x - 5x = 5x - 5x
x² + 20x = 0
Colocando o x em evidência:
x (x + 20) = 0
Ora, se a multiplicação de dois números é igual a zero é porque pelo um deles é igual a zero.

As raízes são zero e 2.

Raízes da função

O número de raízes reais da função
F(x) = ax2 + bx + c
É determinado pelo discriminante Δ.
Há três casos a considerar.
1º) Δ > 0 – A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.
2º) Δ = 0 – A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, também dizemos que a função possui uma raiz dupla.
3º) Δ < 0 – A função não possui raízes reais.
Como podemos observar também as raízes de uma equação do 2º grau são indicadas pelo Δ. As raízes também são chamadas de zero da equação, e são os números que fazem zerar a equação.
Ela em nosso dia-a-dia pode ser encontrada em comércios como forma de base de lucro, é como se ela fosse o ponto de equilíbrio para que o comércio não tenha lucro nem prejuízo, se conseguir vender mercadorias que ultrapassem o valor da raiz terá lucro, se a mercadoria for inferior terá prejuízo.

Explicando a função

Pra que uma função seja considerada do 2º grau, ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 2º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax² + bx + c, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b e c deve pertencer ao conjunto dos reais. Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é:

f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a R* e b e c R.
Veja alguns exemplos de Função afim:
f(x) = x² + 2x +1 ; a = 1 , b = 2 , c = 1 (Completa)
f(x) = 2x² – 2x ; a = 2 , b = - 2 , c = 0 (Incompleta)
f(x) = - x² ; a = -1 , b = 0 , b = 0 (Incompleta)
Toda função a do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio. A função do 2º grau f(x) = x² + 2x - 1 pode ser representada por y = x² + 2x - 1. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -3 e -2 Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:

x=-3

y=(-3)² + 2 x (-3) - 1

y=9 - 6 - 1

y= 3 -1

y=2

(-3; 2)

x = - 2

y = ( -2)2 + 2 . (-2) - 1

y = 4 – 4 – 1

y = -1

(-2; -1)

Podemos assemelhar a função afim com situações do tipo:

• Se vamos comprar um presente, não podemos comprar qualquer presente, pois o presente depende da quantia de dinheiro possibilitada durante a compra, ou seja, o presente está em função da quantia do dinheiro;
• Se vamos á uma viagem, e queremos ter mais confortidade temos que escolher o carro mais em conta para que a viagem seja mais tranqüila, avaliando o custo do carro e o que se pode gastar no mesmo;

Então estes e muitos outros exemplos de situações do nosso dia-a-dia podem ser comparados com a função afim.

Função do 2º grau

A função do segundo grau mais simples é a função . Todo ponto de seu gráfico é da forma , ou seja, a ordenada de cada ponto é o quadrado da abscissa. A curva obtida denomina-se parábola:
O objetivo aqui é o de descobrir como é o gráfico da função do segundo grau y=ax2+bx+c, onde , quando comparado ao gráfico de y=x2, observando as transformações realizadas, dependendo dos parâmetros a, b e c. Para adquirir essa compreensão, começamos com situações mais simples, tendo sempre como referência o gráfico de y=x2.
Podemos associar a parábola da função do segundo grau em vários acontecimentos do dia-a-dia:

• No ângulo feito com o goleiro e a bola em uma partida de futebol;
• Com o controle de notas altas e baixas de um aluno de bimestre em bimestre;
• Com as dívidas que diminuiram ou que cresceram de um mês para outro;
• E até mesmo com coisas mínimas como balas que se compram;

Como se pode ver até um pequeno detalhe precisa da Matemática para ter seu verdadeiro sentido.

Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia-a-dia, por exemplo:

Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que uma relação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.

Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação seja representada em uma função na forma algébrica. Para dar início ao estudo de função é necessário que tenha o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimento algébrico de uma função é resolvido através de equações

Como usar a Matemática no futebol...

Como captar o movimento de uma bola de futebol chutada pelo goleiro?
O goleiro coloca a bola em jogo com um chute forte. A bola sobe até um ponto máximo e começa a descer descrevendo, assim, uma curva que recebeu o nome de parábola. O físico italiano Galileu Galilei, 1564 a 1642, estudou atentamente movimentos como o desta bola e concluiu que, se não fosse a resistência do ar, qualquer corpo solto no campo de gravidade da Terra se movimentaria do mesmo modo. Ou seja, ao fim de 1 segundo percorreria cerca de 5 X 12 = 5 metros;depois de 2 segundos, percorreria cerca de 5 X 22 = 20
metros; depois de 3 segundos, 5 X 32 = 45 metros; e assim sucessivamente. Desta forma, depois de x segundos, percorreria 5 X x2 metros, onde 5 é aproximadamente a metade da aceleração da gravidade em metros por segundo, em cada segundo. Isto é o mesmo que escrever a função f (x) = 5x2. Galileu agrupou todos esses elementos em um importante conceito matemático: função quadrática. Toda função na qual a variável x aparece com o expoente máximo igual a 2 é chamada de função quadrática, ou polinomial de segundo grau, pois o expoente máximo da variável é o quadrado.

Pra que serve a Matemática?

A nossa Vida é igual a Matemática. Todo dia aprendemos aresolver um problema, a multiplicar nossos passos, dividir as nossas alegrias e seguir adiante para aprender mais sobre essa matéria deslumbrante.
A Matemática está sempre presente em nosso dia-a-dia, embora implicitamente, está desde a conta do lanche até o cálculo pra saber o que vai sobrar do salário no fim do mês.
Muitas pessoas que não sabem o papel da Matemática em nosso dia-a-dia se perguntam: "Mas afinal, pra que serve a matemática?"
Vou responder essa pergunta baseando-me na história no livro de Malba Tahan - O Homem que Calculava...
Havia um senhor que vendo aproximar sua morte, resolveu dividir sua fortuna, 53 camelos, com seus filhos.
->Chamou-os e explicando a situação estabeleceu:
*para você que é meu filho mais velho, deixo metade dos meus camelos;
*para você que é meu filho do meio, deixo 1/3 dos meus camelos;
*e para você que é minha única filha, porém a mais jovem, deixo 1/9 dos meus camelos.
Mal os filhos prometeram respeitar sua vontade, o pobre velho morre e começam as dificuldades, já que:
*o filho mais velho teria direito a 26,5 camelos;
*o filho mais novo a 17,6...;
*e a filha mais jovem 5,8...
Como fazer a divisão e não matar nenhum camelo?
Enquanto os filhos discutiam a divisão dos camelos, próximo dali, encontrei um ser bastante intrigante, que caminhava de um lado para o outro falando:
O quadrado de 15 é 225; de 45 é 2025; de 75 é 5625; de 35 é 1225; de ...
Aquilo trouxe-me uma idéia de transformar sua habilidade de fazer conta em lucro...
E foi pensando nisto que acatei seu pedido de carona, mesmo sacrificando meu pobre camelo...
Logo após iniciarmos nossa viagem, defrontamo-nos com os três herdeiros e suas dificuldades em dividir a herança.
Meu caronista ao se inteirar do problema, foi logo dizendo:
"eu proponho que agreguemos o nosso camelos aos deles, os quais passaram a ter 54 camelos."
Você está louco, lhe dou carona e é esta a sua paga, quer dar meu camelo a outros, o que será da gente no meio deste deserto?...
Ele pediu-me paciência e que acreditasse nele e foi logo perguntando:
*para o filho mais velho: metade de 54 é? Ele respondeu 27 e como tinha direito a 26,5, ficou satisfeito com a solução;
*para o filho do meio: 1/3 de 54 é? Ele respondeu 18 e como tinha direito a 17,6.., também se deu por satisfeito;
*para a filha mais jovem: 1/9 de 54 é? Ela respondeu 6 e como tinha direito a 5,8.., também ficou satisfeita.
Estando os herdeiros satisfeitos ele devolveu-me o camelo, pegou um para si e ainda amarrou o outro para levarmos em nossa jornada...
Foi aí que comecei a dar valor a matemática...